Lösung Teil 2

Bei welcher Ausbringungsmenge wird der Gewinn maximal?

Der Gewinn ergibt aus der Differenz der gesamten Kosten und des Erlöses (Umsatzes), d. h. Gewinn=Erlös - Kosten. Die Kostenfunktion ist uns bereits bekannt, die Erlösfunktion muss jedoch noch bestimmt werden. Der Erlös ergibt sich durch Berechnung des Produkts aus Ausbringungsmenge und Stückpreis; z. B. bei 1000 verkauften Einheiten zu je 20.-DM beträgt der Erlös 20.000.- DM.

Allgemein gilt somit für die Erlösfunktion E : E(x)=x*p(x), wobei p(x) der Preis ist. Der Preis hängt von der Konkurrenzsituation auf dem Markt ab. Im Falle eines Angebotsmonopols, d. h., dass nur ein einziger Anbieter auf dem Markt ist, kann der Anbieter über seine eigene Angebotsmenge den Marktpreis mitbestimmen; im Falle der vollständigen Konkurrenz (Polypol), d. h., es gibt eine sehr große Anzahl an Anbietern, hat der Anbieter keine Möglichkeit den Marktpreis über seine eigene Angebotsmenge zu beeinflussen, denn der Käufer kann ja zum Konkurrenten abwandern. Der Anbieter muss den Marktpreis akzeptieren; der Preis ist in diesem Fall somit eine Konstante p(x)=p. Dies trifft auf unser Beispiel zu. Also   E(x)=x*p. Da bei einem Verkauf von 800 Maschinen ein Gesamterlös von 2.280.000.- GE erzielt  wird, gilt 
E(800)=800*p=2280000 und somit p=2850; der Preis für eine Maschine beträgt demnach 2850.- GE. 
Nun lässt sich die Gleichung der Erlösfunktion angeben E(x)=2850x.

Die Gleichung der Gewinnfunktion G lautet demnach
G(x)=E(x)-K(x)=2850x-(0,01x³-9x²+3000x+250000), 
nach Zusammenfassung des Terms erhält man 
G(x)=- 0,01x³ + 9·x² - 150·x - 250000. 
Jetzt können wir mit Hilfe von G' und G'' die gewinnmaximale Absatzmenge berechnen; sie entspricht der Stelle, an der die Gewinnfunktion ein Maximum besitzt.

Es gilt: G'(x)=-0,03x²+18x-150 und G''(x)=-0,06x+18.

Hinreichend für das Vorliegen eines Maximums von G ist G'(x_E)=0 und G''(x_E)<0. 

Die Gleichung -0,03x_E²+18x_E-150=0 ist zu lösen. 
Normierung der quadratischen Gleichung und Anwendung der p-q-Formel liefern die Lösung x_E 591,5475947, welche auch die Bedingung G''(x_E)<0 erfüllt. Die gewinnmaximale Absatzmenge beträgt also 592 ME. Produziert und verkauft man 592 Maschinen, so erwirtschaftet man den maximalen Gewinn.