Lösung Teil 1

Die Gesamtkostenfunktion K ordnet jeder Ausbringungsmenge x die jeweiligen Kosten K(x) zu.

K ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit dem Definitionsbereich [0; 850].

Der Schnittpunkt des Graphen von K mit der Ordinate liegt bei (0; 250000). Dies bedeutet, dass bei einer Produktionsmenge von 0 ME (hier: Maschinen) 250.000.- GE (hier z.B. €) Fixkosten anfallen; z. B. für die Miete der Fabrikhalle. Die fixen Kosten betragen also K_f=250.000 GE. 
Subtrahiert man die fixen Kosten von den Gesamtkosten so erhält man die  variablen Gesamtkosten K_v, es gilt K_v(x)=0,01x³-9x²+3000x . Zu den variablen Kosten gehören z. B. die Materialkosten. 

Der Graph von K ist s-förmig. Er ist streng monoton steigend (Nachweis mit Hilfe des Monotoniekriteriums), d. h., mit zunehmender Ausbringungsmenge (Produktionsmenge) nehmen auch die Gesamtkosten zu.

Im Wendepunkt von K ist die Steigung am geringsten. Hier würde es sich also lohnen die Produktionsmenge zu erhöhen, denn die Gesamtkosten steigen dabei nur unwesentlich. Der Wendepunkt kann mit Hilfe von K'' und K''' berechnet werden. 

Es gilt K'(x)=0,03x²-18x+3000,  K''(x)=0,06x-18 und K'''(x)=0,06. 
Hinreichend für das Vorliegen einer Wendestelle ist K''(x_w)=0 und K'''(x_w)0. 
Es gilt 0,06x_w-18=0 , d. h. x_w=300 und K'''(x_w)=0,06>0, d. h., x_w=300 ist eine Wendestelle von K. Wegen K(300)=610000 ist W(300/610000) Wendepunkt von K.

Unter Grenzkosten versteht man in der Wirtschaftstheorie den Kostenzuwachs, der durch die Herstellung einer zusätzlichen (math.: unendlich kleinen) Ausbringungsmenge entsteht. Die Grenzkostenfunktion K' ist die 1. Ableitungsfunktion der Gesamtkostenfunktion K; sie besitzt die Gleichung  K'(x)=0,03x²-18x+3000. Das Minimum der Grenzkostenfunktion K' befindet sich an der Wendestelle von K, also bei 300 ME. An der Wendestelle von K sind die Grenzkosten minimal.

Die variablen Stückkosten berechnet man, indem man die variablen Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Maschinen dividiert; also, x0. 
Also: k_v(x)=0,01x²-9x+3000. 
Bei welcher Produktionsmenge sind die variablen Stückkosten am geringsten?
Hierzu ist das Minimum von k_v zu bestimmen. 

Es gilt k_v'(x)=0,02x-9 und k_v''(x)=0,02.

Hinreichend für das Vorliegen eines Minimums von k_v ist k_v'(x_min)=0 und k_v''(x_min)>0.

Diese Bedingungen werden von x_min=450 erfüllt. Diese Menge bezeichnet man als Betriebsminimum. 
Die variablen Stückkosten betragen im Betriebsminimum k_v(450)=975. 
Würde man 975.-GE als Preis für eine Maschine verlangen, so würden bei einer Ausbringungsmenge von 450 Maschinen gerade noch die variablen Stückkosten gedeckt werden, nicht aber die Fixkosten. Dies kann sich ein Betrieb nur kurzfristig leisten. 
Man bezeichnet k_v(x_min) als kurzfristige Preisuntergrenze p_uk.

Die Stückkosten berechnet man, indem man die Gesamtkosten durch die Anzahl der produzierten Maschinen dividiert; also , x0. Also: k(x)=0,01x²-9x+3000+. 

Bei welcher Produktionsmenge sind die Stückkosten am geringsten?
Hierzu ist das Minimum von k zu bestimmen. 

Es gilt k'(x)=0,02x-9 - und k''(x)=0,02+.

Hinreichend für das Vorliegen eines Minimums von k ist k'(x_opt)=0 und k''(x_opt)>0.

Es gilt:

0,02x_opt - 9 - =0 | *x_opt² , x_opt0

0,02x_opt³ - 9x_opt² - 250000=0 |: 0,02

x_opt³ - 450x_opt² - 12500000=0

Mit Hilfe des Newton-Verfahrens oder eines netten kleinen Rechenprogramms erhält man x_opt=500 als Lösung obiger Gleichung und es gilt k''(500)>0. Diesen Wert bezeichnet man als Betriebsoptimum.
Die  Stückkosten betragen im Betriebsoptimum k(500)=1500. 
Würde man 1500.-GE als Preis für eine Maschine verlangen, so würden alle Stückkosten bei einer Ausbringungsmenge von 500 Maschinen gedeckt werden. Dies kann sich ein Betrieb längerfristig leisten. 
Man bezeichnet k(x_opt) als langfristige Preisuntergrenze p_ul.